Question

（2004•連云港）（1）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EF∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：
①當(dāng)時(shí)，有；
②當(dāng)時(shí)，有；
③當(dāng)時(shí)，有．
當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明；
（2）現(xiàn)有一塊直角梯形田地ABCD（如圖所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要將這塊地分割成兩塊，由兩農(nóng)戶(hù)來(lái)承包，要求這兩塊地均為直角梯形，且它們的面積相等．請(qǐng)你給出具體分割方案．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線(xiàn)交AB于G，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．那么四邊形HCGB就是平行四邊形，HC=BG=EF，因此HD=EF-a，AG=b-EF，那么可根據(jù)相似三角形HED和GEA得出的關(guān)于DH，AG，DE，AE的比例關(guān)系式，即可求出所求的比例關(guān)系式；
（2）可按照（1）的思路進(jìn)行求解．在A(yíng)D上取一點(diǎn)E，作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，可先設(shè)DE：AE=k，那么可用k表示出DE和EF的長(zhǎng)．由于被EF平分的兩部分面積相等，因此梯形ABCD的面積=2×梯形DEFC的面積，由此可求出梯形DEFC的面積，然后根據(jù)DE，EF的長(zhǎng)，表示出梯形DEFC的面積即可得出關(guān)于k的方程，經(jīng)過(guò)解方程即可得出k的值，進(jìn)而可確定具體的分割方案．
解答：解：（1）猜想得：EF=，
證明：過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線(xiàn)交AB于G，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴，可得；

（2）在A(yíng)D上取一點(diǎn)E，作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，
設(shè)，
則EF=，，
若S_梯形DCFE=S_梯形ABFE，則S_梯形ABCD=2S_梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE為直角梯形，
∴×70=2××（170+）×，
化簡(jiǎn)得12k²-7k-12=0解得：，（舍去），
∴DE==30，
所以只需在A(yíng)D上取點(diǎn)E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可將梯形分成兩個(gè)直角梯形，且它們的面積相等．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形中輔助線(xiàn)的常規(guī)作法以及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．在梯形中通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)建平行四邊形是常用的方法．