Question

【題目】若直線 y mx 8 和 y nx 3 都經(jīng)過(guò) x 軸上一點(diǎn) B，與 y 軸分別交于 A 、C．

（1）寫出 A、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A ，C ；

（2）若∠ABO=2∠CBO，求直線 AB 和 CB 的解析式；

（3）在（2）的條件下若另一條直線過(guò)點(diǎn) B，且交 y 軸于 E，若△ABE 為等腰三角形，寫點(diǎn) E 的坐標(biāo)（只寫結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）（0，8），（0，3）；（2）直線AB：yx+8，直線CB：yx+3；（3）E的坐標(biāo)為（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）．

【解析】

（1）由兩條直線解析式直接求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由直線y=mx+8得B（，0），即OB，而AO=8，利用勾股定理求AB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得比例求m的值，再根據(jù)直線BC與x軸的交點(diǎn)為B求n即可；

（3）根據(jù)（2）的條件，分別以A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧與y軸相交，作AB的垂直平分線與y軸相交，分別求交點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）在y=mx+8和y=nx+3中，令x=0，得A（0，8），C（0，3）．

故答案為：（0，8），（0，3）；

（2）令直線y=mx+8中y=0，得B（，0），即OB，又AO=8，∴AB8．

∵∠ABO=2∠CBO，∴，即245，解得m，又由y=nx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得，解得n，∴直線AB：yx+8，直線CB：yx+3；

（3）由（2）可知OB=6，AB10，當(dāng)△ABE為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：

①以A為圓心，AB為半徑畫圓，與y軸交于兩點(diǎn)E1，E2，則AE1=AE2=AB=10，∴E1（0，18），E2（0，-2）；

②以B為圓心，AB為半徑畫圓，與y軸交于點(diǎn)E3，則OE3=OA=8，∴E3（0，-8）；

③作線段AB的垂直平分線交y軸于E4，設(shè)E4（0，y），∴AE4=BE4，∴，解得：y=，∴E4（0，）．

綜上所述：E的坐標(biāo)為（0，18）或 （0，-2）或 （0，-8）或 （0，）．