Question

△ABC中，∠ACB=90°，AD是角平分線，CH是高，AD、CH交于點(diǎn)E，DF垂直于BC，垂足為F．求證：四邊形CEFD是菱形．

Answer 1

分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DF，證Rt△CAD≌Rt△FAD，△CAE≌△FA，推出∠ACE=∠AFE，求出∠B=∠ACE=∠AFE，推出EF∥BC，再推出DF∥CH，推出四邊形CEFD是平行四邊形，根據(jù)CD=DF，推出平行四邊形CEFD是菱形．

解答：證明：∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，
∴CD=DF，∠CAD=∠FAD，∠ACD=∠AFD=90°，
在Rt△CAD和Rt△FAD中

AD=AD CD=DF

，
∴Rt△CAD≌Rt△FAD（HL），
∴AC=AF，
在△CAE和△FAE中，

AC=AF ∠CAD=∠FAD AE=AE

，
∴△CAE≌△FAE（SAS），
∴∠ACE=∠AFE，
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACE=∠AFE，
∴EF∥BC，
即EF∥CD，
∵CH⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CH，
即EF∥CD，DF∥CE，
∴四邊形CEFD是平行四邊形，
∵CD=DF，
∴平行四邊形CEFD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．