【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,AB=4cm,BC=3cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s,同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向勻
逨運(yùn)動,速度為1cm/s,過點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)
(0<t<4).解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQAM是矩形?
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△ABC相似?
【答案】(1)當(dāng)t為2時(shí),四邊形PQAM是矩形.
(2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.
(3)當(dāng)t=2或1時(shí),△APQ與△ABC相似.
【解析】
試題分析:(1)首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形,求出AC的長度是多少;然后根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出△APQ∽△ACB,即可推得,據(jù)此求出t的值是多少即可.
(2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形,求出S矩形ABCD的值是多少;然后分別求出△APM、△APQ的面積各是多少,再根據(jù)S四邊形PQAM=S矩形ABCD,求出t的值是多少即可.
(3)當(dāng)t=2或1時(shí),△APQ與△ABC相似.根據(jù)題意,分兩種情況討論:①當(dāng)∠AQP=90°時(shí),△APQ與△ABC相似;②當(dāng)∠APQ=90°時(shí),△APQ與△ABC相似;求出當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△ABC相似即可.
解:(1)如圖1,,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC===5,
∵四邊形PQAM是矩形,
∴PQ⊥AB,
又∵CB⊥AB,
∴PQ∥CB,
∴△APQ∽△ACB,
∴,
即,
解得t=2,
∴當(dāng)t為2時(shí),四邊形PQAM是矩形.
(2)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.
如圖2,,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴S矩形ABCD=ABBC=4×3=12,
∵PM⊥AD,CD⊥AD,
∴PM∥CD,
∴△APM∽△ACD,
∴,
即,
解得AM=,PM=t,
∴S△APM=AMPM=×=t2.
∵sin∠PAQ==,
∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=t(4﹣t)×=t(4﹣t),
∵S四邊形PQAM=S矩形ABCD,
∴t2+t(4﹣t)=×,
整理,可得
t2﹣20t+36=0
解得t=2或t=18(舍去),
∴存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.
(3)當(dāng)t=2或1時(shí),△APQ與△ABC相似.
①由(1),可得
當(dāng)t=2時(shí),∠AQP=90°,PQ∥CB,△APQ與△ABC相似.
②如圖3,,
當(dāng)∠APQ=90°時(shí),△APQ與△ABC相似,
∵tan∠PAQ==,
∴,
即,
∴PQ=t,
∵BQ=t,
∴AQ=4﹣t,
在Rt△APQ中,
∵AP2+PQ2=AQ2,
∴,
解得t=1或t=﹣16(舍去).
綜上,可得
當(dāng)t=2或1時(shí),△APQ與△ABC相似.
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以下結(jié)論:①AD∥BC; ②∠ACB=2∠ADB; ③∠ADC=90°-∠ABD; ④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=∠BAC.其中正確的結(jié)論有____________。(填寫正確的序號)
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【題目】下列運(yùn)算正確的是( )
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