Question

如圖，在矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，M為PQ中點．

（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點P在邊CD上運動，設DP=x，BM²=y，求y與x的函數關系式，并求線段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化．當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD。
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ。
（2）∵△ADP∽△ABQ，∴，即�！郠B=2x。
∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．
如圖，過點M作MN⊥QC于點N，

∵MN⊥QC，CD⊥QC，點M為PQ中點，
∴點N為QC中點，MN為中位線，
∴，
。
在Rt△BMN中，由勾股定理得，
∴y與x的函數關系式為：（0＜x＜20）。
∵，
∴當x=8即DP=8時，y取得最小值為45，BM的最小值為。
（3）設PQ與AB交于點E。
如圖，點M落在矩形ABCD外部，須滿足的條件是BE＞MN。
∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得。
∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP。
∴，即，解得。
∵MN為中位線，∴。
∵BE＞MN，∴，解得。
∴當點M落在矩形ABCD外部時，a的取值范圍為：，

（1）由對應兩角相等，證明兩個三角形相似。
（2）如圖所示，過點M作MN⊥QC于點N，由此構造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y與x的函數關系式，這是一個二次函數，求出其最小值。
（3）如圖所示，當點M落在矩形ABCD外部時，須滿足的條件是“BE＞MN”．分別求出BE與MN的表達式，列不等式求解，即可求出a的取值范圍。