如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，且DF：CF=1：3，連接EF并延長交BC的延長線于點G，
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．
分析：（1）設正方形的邊長為a．根據(jù)已知條件得到AE=ED=a，DF=
1
4
a，則由“兩邊及夾角法”證得結論；
（2）由“平行線法”證得△DEF∽△CGF，所以由該相似三角形的對應邊成比例可以求得CG=3ED，又由ED=
1
2
AD=2，則易求BG的長度．
解答：（1）證明：設正方形的邊長為a．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=a，∠A=∠D=90°，
∵E為邊AD的中點，
∴AE=ED=a，
又∵DF：CF=1：3，
∴DF=
1
4
a，
∴
AE
DF
=
AB
DE
，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ED：GC=DF：FC=1：3，
∴GC=3ED．
又∵正方形的邊長為4，點E是AD的中點，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質．此題利用了“兩邊及夾角法”和“平行線法”證得圖中的相似三角形的．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正方形網(wǎng)格上有△ABC，△DEF，說明這兩個三角形相似，并求出它們的相似比．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線精英家教網(wǎng)，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直徑AC的長度；
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

23、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，點E是邊AC的中點，連接DE，DE的延長線與邊BC相交于點F，AG∥BC，交DE于點G，連接AF、CG．
（1）求證：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求證：四邊形AFCG是正方形．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+
3
．
（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6
2
，求另一直角邊BC的長．

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