Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，以x軸的負(fù)半軸上一點H為圓心作⊙H與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩點．以C為圓心、OC為半徑作⊙C與⊙H交于F、F兩點，與y軸交于O、Q兩點．直線EF與AC、BC、y軸分別于M、N、G三點．直線y=

3

4

x+3經(jīng)過A、C兩點．
（1）求tan∠CNM的值；
（2）連接OM、ON，問：四邊形CMON是怎樣的四邊形？請說明理由．
（3）如圖，R是⊙C中弧EQ上的一動點（不與E點重合），過R作⊙C的切線RT，若RT與⊙H相交于S、T不同兩點．問：CS•CT的值是否發(fā)生變化？若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）連接CH，則CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．再根據(jù)題意得出∠CNM=∠CAB．由y=

3

4

x+3過A、C，從而得出tan∠CNM的值．
（2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，則GO=GC．還可證得GC=GM，則GO=GC=GM=GN，從而得出四邊形OMCN是矩形．
（3）連接CR，過C作⊙H的直徑CL，連接SL．易證△CLS∽△CTR，即

CL

CT

=

CS

CR

，從而得出CS•CT的值不變，是定值．

解答：解：（1）連接CH，
則CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．
而∠HCB=∠CBA，即∠CNM+∠CBA=90°．
又∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CNM=∠CAB．
由y=

3

4

x+3過A、C，則OC=3，AO=4，
即tan∠CNM=tan∠CAB=

3

4

；

（2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，
即GO（GC+CQ）=（GO+OD）•GC，則GO=GC．
又∠CMG=∠CBA=∠ACO，
即GC=GM，則GO=GC=GM=GN，
故四邊形OMCN是矩形；

（3）連接CR，過C作⊙H的直徑CL，連接SL．
易證△CLS∽△CTR，即

CL

CT

=

CS

CR

，
則CS•CT=CL•CR=AB•OC=（4+

9

4

）×3=

75

4

．
故CS•CT的值不變?yōu)?span id="dgu0kxt" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

75

4

．

點評：本題是一道綜合題，考查了相交兩圓的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，是中考壓軸題，難度較大．注：（1）利用了等角代換來求三角函數(shù)的值，這是在圓中常碰到的事．
（2）充分運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)模索出MN與OC相等且互相平分，從而正確地判斷圖形．
（3）通過相似三角形，硬性求出CS•CT的值，這是處理這類問題的又一方法．