Question

（2007•雙柏縣）閱讀下列材料：
一般地，n個相同的因數(shù)a相乘記為aⁿ，記為aⁿ．如2×2×2=2³=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log₂8（即log₂8=3）．一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為log_ab（即log_ab=n）．如3⁴=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log₃81（即log₃81=4）．
（1）計算以下各對數(shù)的值：
log₂4=______，log₂16=______，log₂64=______．
（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log₂4、log₂16、log₂64之間又滿足怎樣的關(guān)系式；
（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？
log_aM+log_aN=______；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根據(jù)冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：首先認真閱讀題目，準確理解對數(shù)的定義，把握好對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系．
（1）根據(jù)對數(shù)的定義求解；
（2）認真觀察，不難找到規(guī)律：4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；
（3）有特殊到一般，得出結(jié)論：log_aM+log_aN=log_a（MN）；
（4）首先可設(shè)log_aM=b₁，log_aN=b₂，再根據(jù)冪的運算法則：aⁿ•a^m=a^n+m以及對數(shù)的含義證明結(jié)論．
解答：解：（1）log₂4=2，log₂16=4，log₂64=6；

（2）4×16=64，log₂4+log₂16=log₂64；

（3）log_aM+log_aN=log_a（MN）；

（4）證明：設(shè)log_aM=b₁，log_aN=b₂，
則=M，=N，
∴MN=，
∴b₁+b₂=log_a（MN）即log_aM+log_aN=log_a（MN）．
點評：本題是開放性的題目，難度較大．借考查對數(shù)，實際考查學(xué)生對指數(shù)的理解、掌握的程度；要求學(xué)生不但能靈活、準確的應(yīng)用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數(shù)應(yīng)有的性質(zhì)．