Question

（湖北卷）（本小題滿分14分）

       已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足

   （Ⅰ）證明

（Ⅱ）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（Ⅲ）試確定一個正整數(shù)N，使得當時，對任意b>0，都有

Answer 1

解：（Ⅰ）證法1：∵當

即 

于是有 

所有不等式兩邊相加可得 

由已知不等式知，當n≥3時有，

∵

證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式

   （i）當n=3時，  由

知不等式成立.

（ii）假設(shè)當n=k（k≥3）時，不等式成立，即

則

即當n=k+1時，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得 

   （Ⅱ）有極限，且

   （Ⅲ）∵

則有

故取N=1024，可使當n>N時，都有