Question

如圖一，平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），現(xiàn)將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG、DF重合．
（1）如圖二，若翻折后點(diǎn)F落在OA邊上，求直線DE的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)D（a，6），E（10，b），求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最小值；
（3）一般地，請(qǐng)你猜想直線DE與拋物線y=-

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x²+6的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在圖二的情形中通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的猜想；如果直線DE與拋物線y=-

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x²+6始終有公共點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D一中作出這樣的公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)F落在OA上時(shí)，四邊形OCDF和四邊形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，2）．然后可用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式．
（2）根據(jù)D、E的坐標(biāo)可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根據(jù)相似三角形△OCD和△DBE得出的關(guān)于OC、CD、DB、BE的比例關(guān)系式求出b、a的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出b的最小值及對(duì)應(yīng)的a的值．
（3）可將（1）中得出的直線DE的解析式聯(lián)立拋物線的解析式，看得出的一元二次方程的根的判別式△的值與0的關(guān)系即可得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：（1）解：∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°，
OC∥DF，
∵CD∥OA，
∴四邊形COFD是矩形，
∵根據(jù)△COD沿OD翻折，得到△FOD，
∴OC=OF=6，
∴四邊形COFD是正方形，
同理四邊形BDGE是正方形，
∴CD=OF=DF=6，OA=10，AE=6-4=2，
∴D（6，6），E（10，2），
設(shè)直線DE的解析式是y=kx+b，
代入得：

2=10k+b 6=6k+b

，
解得：k=-1，b=12，
∴直線DE的函數(shù)關(guān)系式是y=-x+12．

（2）依題意有：CD=a，BD=10-a，BE=6-b．
∵∠ODE=90°，∠OCD=90°，
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
∴

BD

OC

=

BE

CD

∴

10-a

6

=

6-b

a

∴b=

1

6

a²-

5

3

a+6=

1

6

（a-5）²+

11

6

當(dāng)a=5時(shí)，b_最小值=

11

6

．

（3）猜想：直線DE與拋物線y=-

1

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x²+6只有一個(gè)公共點(diǎn)．
證明：由（1）可知，DE所在直線為y=-x+12．
代入拋物線，得-

1

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x²+6=-x+12
化簡(jiǎn)得x²-24x+144=0，所以△=0．
所以直線DE與拋物線y=-

1

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x²+6只有一個(gè)公共點(diǎn)．
解得：x=12，
∴y=0，
公共點(diǎn)為：（12，0）．
∴延長(zhǎng)OF交DE于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形相似、矩形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．