Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長(zhǎng)線段），O為AB的中點(diǎn)，P為AC延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB的垂直平分線交線段OC于點(diǎn)E，D為垂足，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①E為△ABP的外心；②△PBE為等腰直角三角形；
③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不變．

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：①由于外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，顯然點(diǎn)E是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn)，因此符合△ABP外心的要求，故①正確；
②此題要通過(guò)①的結(jié)論來(lái)求，連接AE，根據(jù)三角形的外心的性質(zhì)可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；
③此題顯然要通過(guò)相似三角形來(lái)求解，由于OA=OB，那么可通過(guò)證△OEB∽△CPB來(lái)判斷③的結(jié)論是否正確；
④此題較簡(jiǎn)單，過(guò)E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的結(jié)論可轉(zhuǎn)化為證PM是否為定值，觀察圖形，可通過(guò)證△PEM、△BEC是否全等來(lái)判斷．
解答：解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E點(diǎn)是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn)，
∴E點(diǎn)是△ABP的外心，故①正確；
②如圖，連接AE；
由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形內(nèi)角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：，即PC•OB=OE•BC?PC•OA=OE•BC；
故③錯(cuò)誤；
④過(guò)E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不變，故④正確；
因此正確的結(jié)論是①②④，故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的外接圓、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的相關(guān)知識(shí)等，綜合性強(qiáng)，難度較大．