Question

如圖，某學校校園內有一塊形狀為直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，現計劃在上面建設一個面積為S的矩形綜合樓PMBN，其中點P在線段AD上，且PM的長至少為36m．
（1）求邊AD的長；
（2）設PA=x（m），求S關于x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）若S=3300m²，求PA的長．（精確到0.1m）

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形進行求解，過D作AB的垂線，那么可在構建的直角三角形中，根據梯形兩底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的長．
（2）可根據（1）中構建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的長，進而可根據AB的長，表示出矩形的長BM的值，由此可根據矩形的面積公式得出關于S、x的函數關系式．自變量的取值范圍可根據PM的長至少為36m來解，即讓PM的表達式大于等于36即可．
（3）可將S的值代入（2）所求得的函數解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自變量的取值范圍．

解答：解：（1）過點D作DE⊥AB于E
則DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM
Rt△ADE中，DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD=

AE2+DE2

=

3600+6400

=100m

（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴

AP

AD

=

PM

DE

=

AM

AE

即

x

100

=

PM

80

=

AM

60

∴PM=

4

5

x，AM=

3

5

x
即MB=AB-AM=100-

3

5

x
S=PM•MB=

4

5

x•（100-

3

5

x）=-

12

25

x²+80x
由PM=

4

5

x≥36，得x≥45
∴自變量x的取值范圍為45≤x≤100

（3）當S=3300m²時，
80x-

12

25

x²=3300
12x²-2000x+82500=0
3x²-500x+20625=0
x=

500± (-500)2-4×3×20625

6

=

500±50

6

∴x₁=

550

6

≈91.7（m），x₂=

450

6

=75（m）
即當s=3300m²時，PA的長為75m，或約為91.7m．

點評：本題結合實際問題考查了二次函數的應用，正確的用x表示出矩形的長和寬是解題的關鍵．