Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，D是射線BC上一點，在DA的順時針方向作∠ADF=45°，DF所在的直線與射線AC交于點E．
（1）如圖，若點D在線段BC上運動，
①△ABD與△DEC是否相似，請說明理由；
②設(shè)BD=x，△DEC的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點D（與B不重合）在射線BC上運動，BD為何值時，△ADE是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）相似；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，從而得到∠BAD=∠EDC，進而得到兩三角形相似．
（2）分D在線段BC上和D在線段BC的延長線上，兩種情況討論即可得到BD為何值時，△ADE是等腰三角形．

解答：解：（1）①△ABD與△DEC相似，
理由：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠ADF=45°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DEC；
②作AH⊥BC，垂足為H，如圖1，
易知△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=2

2

，
∴AH=2，△ABD的面積為S△ABD=

1

2

AH•BD=

1

2

×2x=x，
∵DC=4-x，△ABD∽△DCE，
∴

S△DEC

S△ABD

=(

DC

AB

)2=(

4-x

2 2

)2，
∴S△DEC=y=x(

4-x

2 2

)2=

1

8

x3-x2+2x；

（2）（Ⅰ）D在線段BC上，
①AD=AE，此時B、D重合，不合題意，
②若AD=DE，如圖2，
∵由（1）①得△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2

2

，
∴BD=4-2

2

，
③若AE=DE，如圖3，
∵∠ADF=45°，
∴易得△ADE是等腰直角三角形，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴BD=2；

（Ⅱ）D在線段BC的延長線上，
∵∠ADF=45°，
∴∠ADE=135°，
∴只有AD=DE，如圖4，
∵由（1）①得△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2

2

，
∴BD=4+2

2

，
綜上：BD=2，4-2

2

，4+2

2

．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，是一道綜合性較強的題目，難度較大．