Question

如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若點B，P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點M．CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．
（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．
①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

（1）證明：①如圖2：
∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC邊中點，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM=ME，
∴在Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN．

（2）解：成立，如圖3．
證明：延長MP與NC的延長線相交于點E，
∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，
又∵P為BC中點，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
在△BPM和△CPE中，
，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=ME，
則Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN．

（3）解：如圖4，
四邊形M′BCN′是矩形，
根據(jù)矩形的性質(zhì)和P為BC邊中點，得到△M′BP≌△N′CP，
得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．
分析：（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠MBP=∠ECP再根據(jù)BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；
②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN．
（2）證明方法與②相同．
（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．
點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．