Question

在矩形ABCD中，

AB

AD

=a，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．

（1）如圖1，當(dāng)DH=DA時，
①填空：∠HGA=

 

度；
②若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值；
（2）如圖3，∠AEH=60°，EG=2BG，連接FG，交邊FG，交邊DC于點P，且FG⊥AB，G為垂足，求a的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,勾股定理,矩形的性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：幾何綜合題

分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知條件得出∠HAE=45°，再根據(jù)HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，從而得出答案；
②先分兩種情況討論：第一種情況，根據(jù)（1）得出∠AHG=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根據(jù)EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG-∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此時，當(dāng)B與G重合時，a的值最小，求出最小值；第二種情況：根據(jù)已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折疊的性質(zhì)求出∠AHE的度數(shù)，此時，當(dāng)B與E重合時，a的值最小，設(shè)DH=DA=x，則AH=CH=

2

x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根據(jù)勾股定理得：AG=

2

AH=2x，再根據(jù)∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+

2

x，從而求出a的最小值；
（2）先過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GOH=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，得出四邊形DAQH為矩形，設(shè)AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，
由折疊的性質(zhì)可知∠AEH=∠FEH=60°，得出∠FEG=60°，在Rt△EFG中，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出EG和EQ的值，再由折疊的性質(zhì)得出AE=EF，求出y的值，從而求出AB=2AQ+GB，即可得出a的值．

解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADH=90°，
∵DH=DA，
∴∠DAH=∠DHA=45°，
∴∠HAE=45°，
∵HA=HG，
∴∠HAE=∠HGA=45°；
故答案為：45°；

②分兩種情況討論：
第一種情況：
∵∠HAG=∠HGA=45°；
∴∠AHG=90°，
由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，
∵EF∥HG，
∴∠FHG=∠F=45°，
∴∠AHF=∠AHG-∠FHG=45°，
即∠AHE+∠FHE=45°，
∴∠AHE=22.5°，
此時，當(dāng)B與G重合時，H為DC中點，DA=DH=

1

2

DC=

1

2

AB，此時

AB

AD

=a=2，所以a的最小值是2；
第二種情況：
∵EF∥HG，
∴∠HGA=∠FEA=45°，
即∠AEH+∠FEH=45°，
由折疊可知：∠AEH=∠FEH，
∴∠AEH=∠FEH=22.5°，
∵EF∥HG，
∴∠GHE=∠FEH=22.5°，
∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，
此時，當(dāng)B與E重合時，a的值最小，
設(shè)DH=DA=x，則AH=CH=

2

x，
在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：
AG=

2

AH=2x，
∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，
∴∠AEH=∠GHE，
∴GH=GE=

2

x，
∴AB=AE=2x+

2

x，
∴a的最小值是

2x+ 2 x

x

=2+

2

；

（2）如圖：過點H作HQ⊥AB于Q，則∠AQH=∠GQH=90°，
在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，
∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，
∴四邊形DAQH為矩形，
∴AD=HQ，
設(shè)AD=x，GB=y，則HQ=x，EG=2y，
由折疊可知：∠AEH=∠FEH=60°，
∴∠FEG=60°，
在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，
在Rt△HQE中，EQ=

HQ

tan60°

=

3

3

x，
∴QG=QE+EG=

3

3

x+2y，
∵HA=HG，HQ⊥AB，
∴AQ=GQ=

3

3

x+2y，
∴AE=AQ+QE=

2 3

3

x+2y，
由折疊可知：AE=EF，
∴

2 3

3

x+2y=4y，
∴y=

3

3

x，
∴AB=2AQ+GB=2（

3

3

x+2y）+y=

7 3

3

x，
∴a=

AB

AD

=

7 3

3

．

點評：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識點是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識點，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，構(gòu)造直角三角形．