Question

已知OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥BC，C為OB延長線上任意一點，過點C作CD切⊙O于點D，連接AD，交OC過于點E．
（1）求證：CD=CE；
（2）若將圖1中的半徑OB所在的直線向上平行移動，交⊙O于B′，其他條件不變，如圖2，那么上述結(jié)論CD=CE還成立嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明∠CED=∠CDE，利用等角對等邊即可證得；
（2）根據(jù)移動的性質(zhì)可以得到：CF⊥AO于F，則與（1）相同的方法即可證明．

解答：解：（1）△CDE是等腰三角形．理由如下：
連接OD，則OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，
在⊙O中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE；

（2）結(jié)論仍然成立．理由如下：
∵將原來的半徑OB所在直線向上平行移動，
∴CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
連接OD，則∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，以及等腰三角形的判定方法：等角對等邊．