Question

先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．

1

1×2

=1-

1

2

；   

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；   

1

3×4

=

1

3

-

1

4

將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=

9

10

；
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

；（用含有n的式子表示）
（3）探究并計算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題干的規(guī)律，分別將每一個式子寫成兩個分?jǐn)?shù)差的形式，再計算；
（2）根據(jù)題干的規(guī)律，分別將每一個式子寫成兩個分?jǐn)?shù)差的形式，再計算；
（3）先提

1

2

出來，然后和前面的運算方法一樣．

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

）
=

1

2

×（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．
故答案為：

9

10

；

n

n+1

．

點評：本題考查了關(guān)于數(shù)字變化的規(guī)律：通過觀察數(shù)字之間的變化規(guī)律，得到一般性的結(jié)論，再利用此結(jié)論解決問題．