Question

探究：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：______；
（2）如圖2，若把（1）問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD”，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）問(wèn)中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明．

Answer 1

解：（1）如圖1，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEF′中，，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又EF′=BE+BF′=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立．
理由如下：如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，
則△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，∠ABF′=∠D，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF=∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABF′+∠ABE=180°，
∴F′、B、E三點(diǎn)共線，
在△AEF與△AEF′中，，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE+BF′，
∴EF=BE+DF；

（3）發(fā)生變化．EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF=BE-DF．
理由如下：如圖3，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，點(diǎn)F落在BC上點(diǎn)F′處，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，
又∵∠EAF=∠BAD，且∠BAF′=∠DAF，
∴∠F′AE=∠BAD-（∠BAF′+∠EAD）=∠BAD-（∠DAF+∠EAD）=∠BAD-∠FAE=∠FAE，
即∠F′AE=∠FAE，
在△F′AE與△FAE中，，
∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF=EF′，
又∵BE=BF′+EF′，
∴EF′=BE-BF′，
即EF=BE-DF．
分析：（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，然后求出∠EAF′=∠EAF=45°，利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=EF′，從而得解；
（2）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ADF和△ABF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF′=∠DAF，對(duì)應(yīng)邊相等可得AF′=AF，BF′=DF，對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABF′=∠D，再根據(jù)∠EAF=∠BAD證明∠EAF′=∠EAF，并證明E、B、F′三點(diǎn)共線，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AEF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF′=EF，從而得解；
（3）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，點(diǎn)F落在BC上點(diǎn)F′處，得到△ABF′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得△ADF和△ABF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAF′=∠DAF，對(duì)應(yīng)邊相等可得AF′=AF，BF′=DF，再根據(jù)∠EAF=∠BAD證明∠F′AE=∠FAE，然后利用“邊角邊”證明△F′AE和△FAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=EF′，從而求出EF=BE-DF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．