Question

如圖，已知△ABC的面積是4

3

的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于

3-

3

（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后求出其邊長(zhǎng)，過點(diǎn)F作FH⊥AE，過C作CM⊥AB，利用三角函數(shù)求出HF的值，即可得出三角形AFE的面積．

解答：解：作CM⊥AB于M，
∵等邊△ABC的面積是4

3

，
∴設(shè)BM=x，∴tan∠BCM=

BM

CM

=

3

3

，
∴BM=

3

3

CM，
∴

1

2

×CM×AB=

1

2

×2×

3

3

CM²=4

3

，
∴CM=2

3

，BM=2，
∴AB=4，AD=

1

2

AB=2，
在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，
則∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設(shè)AH=HF=x，則EH=xtan30°=

3

3

x．
又∵AH+EH=AE=AD=2，
∴x+

3

3

x=2，
解得x=3-

3

．
∴S_△AEF=

1

2

×2×（3-

3

）=3-

3

．
故答案為：3-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解得此題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問題可解．