Question

【題目】下面我們做一次折疊活動：

第一步，在一張寬為2的矩形紙片的一端，利用圖（1）的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，折痕為MC；
第二步，如圖（2），把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，折痕為FA；
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形FACB的對角線AB，并將AB折到圖（3）中所示的AD處，折痕為AQ．
根據(jù)以上的操作過程，完成下列問題：
（1）求CD的長．
（2）請判斷四邊形ABQD的形狀，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠M=∠N=∠MBC=90°，

∴四邊形MNCB是矩形，

∵M(jìn)B=MN=2，

∴矩形MNCB是正方形，

∴NC=CB=2，

由折疊得：AN=AC= NC=1，

Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= = ，

∴AD=AB= ，

∴CD=AD﹣AC= ﹣1；

（2）解：四邊形ABQD是菱形，理由是：

由折疊得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD，

∵BQ∥AD，

∴∠BQA=∠QAD，

∴∠BAQ=∠BQA，

∴AB=BQ，

∴BQ=AD，BQ∥AD，

∴四邊形ABQD是平行四邊形，

∵AB=AD，

∴四邊形ABQD是菱形．

【解析】（1）首先證明四邊形MNCB為正方形，然后再依據(jù)折疊的性質(zhì)得到：CA=1，AB=AD，最后再依據(jù)CD=AD-AC求解即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得到∠BAQ=∠BQA，然后依據(jù)等角對等邊的性質(zhì)得到AB=BQ，接下來，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可證明四邊形ABQD是平行四邊形，再由AB=AD，可得四邊形ABQD是菱形.