Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-mx+12=0的兩實(shí)根，以O(shè)B為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長(zhǎng)交x軸于N．
（1）求⊙M的半徑．
（2）求線段AC的長(zhǎng)．
（3）若D為OA的中點(diǎn)，求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

分析：（1）由OA、OB長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-mx+12=0的兩實(shí)根，得OA•OB=12，而OA=4，所以O(shè)B=3，又由于OB為⊙M的直徑，即可得到⊙M的半徑．
（2）連接OC，根據(jù)OB是⊙M直徑，得到OC⊥BC，利用面積相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可．
（3）連MD，OC，由OB為⊙M的直徑，得∠OCB=90°，則∠OCD=90°，由于D為OA的中點(diǎn)，所以CD=

1

2

OA=OD，因此可證明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切線．

解答：解：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB長(zhǎng)是x²-mx+12=0的兩根
∴OA•OB=12∴OB=3   故B（0，3）（2分）
∵OB為直徑
∴半徑MB=

3

2

       （4分）

（2）連接OC
∵OB是⊙M直徑
∴OC⊥BC                    （5分）
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=

42+32

=5            （6分）
∴OC•5=3•4
∴OC=

12

5

                    （7分）
∴AC=

42-( 12 5 )2

=

16

5

    （8分）

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO   （9分）
又CD是Rt△OCA斜邊上中線
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO                （10分）
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC                       （11分）
∴CD是⊙M的切線               （12分）
（注：由于解法不一，可以視方法的異同與合理性分步計(jì)分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的難點(diǎn)是圓的切線的判定方法．經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過(guò)圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn)，證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒(méi)告訴直線過(guò)圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要過(guò)圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時(shí)考查了直徑所對(duì)的圓周角為90度，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形全等的判定和性質(zhì)．