Question

如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC分別交DC、BC于點(diǎn)H、E，延長AB至點(diǎn)F，使BF=BE，連接CF，延長AE交CF于點(diǎn)G，連接OG．下列結(jié)論：①△ABE≌△CBF；②OG∥AB；③AH=HG；④以AG為直徑的圓與CF相切．其中正確的個(gè)數(shù)有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①根據(jù)“SAS”可證明，故正確；
②由①可得∠F=∠AEB；又∠AEB+∠EAB=90°，所以∠F+∠BAE=90°，即AG⊥CF．根據(jù)“ASA”證明△FCG≌△CAG，得G是CF的中點(diǎn)．根據(jù)三角形中位線定理可得OG∥AB，故正確；
③因?yàn)锳O=OC，若AH=HG，則OH∥CG；而OB∥EF，故錯(cuò)誤；
④由②可證，故正確．
解答：①∵AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF．故正確；
②∵△ABE≌△CBF，
∴∠AEB=∠F．
∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠F+∠BAE=90°，
∴∠AGF=90°=∠AGC．
又∵∠CAG=∠FAG，AG公共邊，
∴△FAG≌△CAG．
∴FG=CG．
∵AO=OC，
∴OG∥AB．故正確；
③∵AO=OC，若AH=HG，則OH∥CG．而OB∥EF，故錯(cuò)誤；
④∵AG⊥CF，
∴以AG為直徑的圓與CF相切．故正確．
所以正確的有①②④3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線定理、切線的判定方法等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．