Question

如圖，已知直線y₁=x+m與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線y2=

k

x

（x＜0）分別交于點C、D，且C點的坐標為（-1，2）．
（1）分別求出直線AB及雙曲線的解析式；
（2）求出點D的坐標；
（3）利用圖象直接寫出：當在什么范圍內(nèi)取值時，y₁＞y₂；
（4）在坐標軸上找一點M，使得以M、C、D為頂點的三角形是等腰三角形，請寫出M的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點C的坐標代入直線與雙曲線解析式計算即可得解；
（2）兩解析式聯(lián)立求解即可得到點D的坐標；
（3）點C、D之間的部分的x的取值范圍就是y₁＞y₂的取值；
（4）根據(jù)直線的解析式求出點A、B的坐標，再求出CD的長度，然后分①點M在x軸上時，DM=CD，②點M在y軸上時CM=CD，以及③CM=DM三種情況討論求解．

解答：解：（1）∵C點的坐標為（-1，2），
∴-1+m=2，
解得m=3，

k

-1

=2，
解得k=-2，
∴直線AB的解析式是：y₁=x+3，
雙曲線的解析式是：y₂=-

2

x

；

（2）直線與雙曲線解析式聯(lián)立得，

y=x+3 y= - 2 x

，
解得

x1=-1 y1=2

（點C坐標），

x2=-2 y2=1

，
∴點D的坐標是（-2，1）；

（3）根據(jù)圖象，當-2＜x＜-1時，y₁＞y₂；

（4）當y=0時，x+3=0，
解得x=-3，
當x=0時，y₁=0+3=3，
∴點A、B的坐標分別是A（-3，0）、B（0，3），
∵C（-1，2），D（-2，1）；
∴CD=

[-1-(-2)]2+(2-1)2

=

2

，
①點M在x軸上時，DM=CD，設點M的坐標是（a，0），
則

(-2-a)2+(1-0)2

=

2

，
解得a=-3（舍去）或a=-1，
∴點M的坐標是（-1，0），
②點M在y軸上時，CM=CD，設點M的坐標是（0，b），
則

(-1-0)2+(2-b)2

=

2

，
解得b=1或b=3（舍去），
∴點M的坐標是（0，1），
③當點M與坐標原點O重合時，CM=

12+22

=

5

，
DM=

22+12

=

5

，
∴CM=DM，△CDM是等腰三角形，
此時點M的坐標是（0，0）．
綜上所述，點M的坐標是（-1，0）（0，1）（0，0）．

點評：本題是對反比例函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，與直線的交點的坐標的求法，兩點之間的距離公式，等腰三角形的求解，分情況討論，綜合性較強，難度較大，但只要仔細分析便不難求解．