Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設運動時間為t（秒）．
（1）設四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數關系式；
（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形；
（3）是否存在時刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（4）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻t，使得PD⊥AB？若存在，請估計t的值在括號中的哪個時間段內（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可知：四邊形PCQD的面積等于△PCQ的面積的2倍，因此本題只需計算三角形PCQ的面積即可．可用t表示出PC和QB的長，然后根據三角形的面積公式即可得出三角形PCQ的面積與t的函數關系式，進而可求出y，t的函數關系式；
（2）如果四邊形PQBA是梯形，那么只有一種情況，即PQ∥AB，可根據這兩條平行線得出的關于CP，CA，CQ，CB的比例關系式求出此時t的值；
（3）可通過構建相似三角形來求解．延長PD交BC于M，通過相似三角形QMD和三角形ABC得出的關于OD，QM，AC，AB的比例關系式，可得出QM的表達式，然后根據PD∥AB得出的關于CP，CA，CM，CB的比例關系式求出t的值．
（4）可延長PD交AB于H，過Q作QR⊥AB于R．在直角三角形ARH中，AP=3t，因此AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，在直角三角形BQR中，BQ=16-4t，因此BR=．由于AB=20．因此t+4t+=20，解得t=．因此存在時刻t使得PD⊥AB．
解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t．
∵△PCQ與△PDQ關于直線PQ對稱，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）當時，有PQ∥AB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t，
∴，
解得t=2．
∴當t=2秒時，四邊形PQBA是梯形．

（3）設存在時刻t，使得PD∥AB，延長PD交BC于點M，如圖，
若PD∥AB，則∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
從而，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB==20，
∴QM=．
若PD∥AB，則，
得，
解得t=．
∴當t=秒時，PD∥AB．

（4）存在時刻t，使得PD⊥AB．
時間段為：2＜t≤3．
延長PD交AB于H，過Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16-4t，
∴BR=．
∵AB=20．
∴t+4t+=20，解得t=．
∴存在時刻t使得PD⊥AB．

點評：[點評]本題是一道動態(tài)幾何題，綜合性較強，區(qū)分度較大，有一定的難度．
【命題意圖】最后總是函數的應用，去年是一次函數的應用、二次函數的應用以及分類討論，其實對初中而言，一次函數和二次函數的重要性是一樣的，關鍵是函數思想的確立，函數模型的建立．本題考查求解二次函數關系式、并利用關系式求值的運算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問題的能力，同時考查的數學思想主要是數學建模思想．本題在呈現(xiàn)方式上做出了創(chuàng)新，試題貼近社會經濟的盈虧問題，賦予了生活氣息，使學生真切地感受到“數學來源于生活”，體驗到數學的“有用性”．這樣設計體現(xiàn)了《新課程標準》的“問題情景-建立模型-解釋、應用和拓展”的數學學習模式．