Question

設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m.n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，即當(dāng)時(shí)，有，所以說函數(shù)是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；

（2）若二次函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2]上的“閉函數(shù)”，求k的值；

（3）若一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式（用含

     m，n的代數(shù)式表示）．

 

Answer 1

 解：（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2016]上的“閉函數(shù)”．1分

    理由如下：

    反比例函數(shù)y=在第一象限，y隨x的增大而減小，

    當(dāng)x=1時(shí)，y=2016；…………………………………2分

    當(dāng)x=2016時(shí)，y=1，

    即圖象過點(diǎn)（1,2016）和（2016,1）

    ∴當(dāng)1≤x≤2016時(shí)，有1≤y≤2016，符合閉函數(shù)的定義，

   ∴反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2016]上的“閉函數(shù)”；………3分

（2）由于二次函數(shù)的圖象開口向上，

     對(duì)稱軸為，…………………………………………4分

     ∴二次函數(shù)在閉區(qū)間[1,2]內(nèi)，y隨x的增大而增大．

       當(dāng)x=1時(shí)，y=1，

     ∴k=．

       當(dāng)x=2時(shí)，y=2，

     ∴k=．

       即圖象過點(diǎn)（1,1）和（2,2）

     ∴當(dāng)1≤x≤2時(shí)，有1≤y≤2，符合閉函數(shù)的定義，

     ∴k=．…………………………………………………5分

（3）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，即圖象過點(diǎn)（m,m）和（n,n）

，……………………………………………6分

解得．

∴…………………………………………………7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，即圖象過點(diǎn)（m,n）和（n,m）

，解得

∴，…………………………………8分

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為或．