Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁,y₁）與P₂（x₂,y₂）的“非常距離”，

給出如下定義：

      若∣x₁－x₂∣≥∣y₁－y₂∣，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為∣x₁－x₂∣；

      若∣x₁－x₂∣＜∣y₁－y₂∣，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為∣y₁－y₂∣.

      例如：點(diǎn)P₁（1,2），點(diǎn)P₂（3,5），因?yàn)楱O1－3∣＜∣2－5∣，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為

∣2－5∣=3，也就是圖1中線(xiàn)段P₁Q與線(xiàn)段P₂Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線(xiàn)P₁Q與垂直于x

軸的直線(xiàn)P₂Q的交點(diǎn)）。

    （1）已知點(diǎn)，B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

         ①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

         ②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；

    （2）已知C是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

       ①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

       ②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最

小值及相應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②。

（2）①設(shè)C坐標(biāo)為，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥x軸于點(diǎn)P，作CQ⊥y軸于點(diǎn)Q。

 

 

     由“非常距離”的定義知，當(dāng)OP=DQ時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”最小，

∴。

兩邊平方并整理，得，解得，或（大于，舍去）。

∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值距離為，此時(shí)。

②設(shè)直線(xiàn)與x軸和y軸交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)C，交圓于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥x軸于點(diǎn)P，作CQ⊥y軸于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，作EN⊥y軸于點(diǎn)N。

易得，OA=4，OB=3，AB=5。

 

 

由△OAB∽△MEM，OE=1，得OM=，ON=�！�。

設(shè)C坐標(biāo)為

由“非常距離”的定義知，當(dāng)MP=NQ時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，

∴。

兩邊平方并整理，得，

解得，或（大于，舍去）。

∴點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值距離為1，此時(shí)，。

【解析】新定義，直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，直線(xiàn)和圓的性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的和性質(zhì)。

（1）根據(jù)“非常距離”的定義可直接求出。

（2）①解題關(guān)鍵是，過(guò)C點(diǎn)向x、y軸作垂線(xiàn)，當(dāng)CP和CQ長(zhǎng)度相等的時(shí)候“非常距離”最短，理由是，如果向下（如左圖）或向上（如右圖）移動(dòng)C點(diǎn)到達(dá)C’點(diǎn)，其與點(diǎn)D的“非常距離”都會(huì)增大。故而C、D為正方形相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有最小的非常距離。

 

 

②同①，同時(shí)理解當(dāng)OC垂直于直線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小。