Question

在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，且BE=CF．
（1）求證：DE=DF；
（2）當(dāng)∠A=90°時，求證：四邊行AFDE為正方形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專題：證明題

分析：（1）利用HL證得Rt△BED≌Rt△CFD，則由“全等三角形的對應(yīng)邊相等”證得結(jié)論；
（2）根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形證得四邊形AFED是矩形，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證得結(jié)論；

解答：（1）證明：如圖，∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED與Rt△CFD中，

BE=CF BD=CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF；

（2）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A=90°，
∴四邊形AFDE是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形AFDE是正方形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件，正方形是特殊的矩形；