Question

已知大⊙O的直徑AB=acm，分別以OA、OB為直徑作⊙O₁和⊙O₂，并在⊙O與⊙O₁和⊙O₂的空隙間作兩個半徑都為r的⊙O₃和⊙O₄，且這些圓互相內切或外切（如圖所示）．
（1）猜想四邊形O₁O₄O₂O₃是什么四邊形，并說明理由；
（2）求四邊形O₁O₄O₂O₃的面積．

Answer 1

解：（1）四邊形O₁O₄O₂O₃為菱形．
理由如下：
∵⊙O、⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄互相內切或外切，
又∵⊙O₁和⊙O₂，⊙O₃和⊙O₄分別是等圓，
∴O₁O₄=O₄O₂=O₂O₃=O₃O₁=．
∴四邊形O₁O₄O₂O₃為菱形．

（2）連接O₃O₄必過點O，且O₃O₄⊥AB．
∵⊙O₃和⊙O₄的半徑為rcm．
又∵⊙O₁、⊙O₂的半徑為cm，
∴在Rt△O₃O₁O中，有．
解得r=．
∴O₃O=．
∵四邊形O₁O₄O₂O₃為菱形，
∴S_{四邊形O1O4O2O3}=．
分析：（1）根據外切兩圓之間之間的關系：圓心距等于兩圓半徑的和，即可證得四邊形的四邊相等；
（2）連接O₃O₄必過點O，且O₃O₄⊥AB，則菱形被分成了四個全等的直角三角形，根據菱形的面積公式即可求解．
點評：本題主要考查了兩圓外切時的關系以及菱形的判定，菱形的計算可以通過作對角線分成四個全等的直角三角形進行計算．