AB是⊙O的直徑,P為AB延長線上一點,PD與⊙O相切于點D,C在⊙O上,且PC=PD.
(1)判斷PC與⊙O的位置關(guān)系,并證明你判斷.
(2)過A點作AE⊥PC于E,連接BC,若AE=4,⊙O的半徑為3,求cos∠APE的值.

【答案】分析:(1)連接OC、OD,由于PC=PD,OC=OD,OP=OP,利用SSS可證△OCP≌△ODP,于是∠OCP=∠ODP,而DP是⊙O的切線,那么∠ODP=90°,從而有∠OCP=90°,因此PC是⊙O的切線;
(2)連接AC,易證AE∥OC,那么∠EAC=∠OCA=∠CAB,又由于∠AEC=∠ACB=90°,利用AA可證△ACE∽△ABC,可得比例線段,CA:AB=AE:AC,即AC2=24,于是EC2=8,即EC=2,設(shè)AE交⊙O于點F,連BF,則BF=2CE=,易求cos∠APE=cos∠ABF==
解答:解:(1)PC與⊙O相切.
證明:連接OC,OD,
∵PC=PD,OC=OD,OP=OP,
∵△OCP≌△ODP,
∴∠OCP=∠ODP,
又∵PD是⊙O的切線,
∴∠ODP=90°,
∴∠OCP=90°,
∴PC是⊙O的切線;

(2)連接AC,AE∥OC,AE交⊙O于F,
∵∠EAC=∠OCA=∠CAB,又∠AEC=∠ACB=90°,
∴△ACE∽△ABC,
∴CA:AB=AE:AC,AC2=AB•AE=6×4=24,
EC2=AC2-AE2=8,EC=
設(shè)AE交⊙O于點F,連BF,則BF=2CE=,cos∠APE=cos∠ABF==
點評:本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)值、平行線的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
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