Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，tan∠OAB=．
（1）求這直線的解析式；
（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置，求以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸的交點(diǎn)為E．試判斷△ODE是否與△OAB相似？如果認(rèn)為相似，請(qǐng)加以證明；如果認(rèn)為不相似，也請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A（3，0），
∴OA=3．
∵tan∠OAB=，
即=，
∴OB=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
又∵直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），
代入求出直線的解析式為y=-x+3，
答：直線的解析式為y=-x+3．

（2）由題意，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，3），
設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-6）²+3，
把A的坐標(biāo)代入求出a=-，
∴所求拋物線的解析式為y=-（x-6）²+3，
答：所求拋物線的解析式為y=-（x-6）²+3．

（3）答：相似．
證明：由（2），拋物線y=-（x-6）²+3
與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D（9，0），與y軸的交點(diǎn)為
E（0，-9）．
∴OD=9，OE=9，
在△ODE與△OAB中，
∵∠DOE=∠AOB=90°，
且OD：OA=OE：OB，
∴△ODE∽△OAB．
分析：（1）求出A（3，0），得到B的坐標(biāo)，代入解析式即可求出；
（2）由題意得到C的坐標(biāo)為（6，3），設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-6）²+3，把A的坐標(biāo)代入求出a即可；
（3）相似，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D（9，0），與y軸的交點(diǎn)為E（0，-9），得出∠DOE=∠AOB=90°，OD：OA=OE：OB，即可判斷相似．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．