Question

已知⊙O的半徑為10，弦AB的長為10

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，點C在⊙O上，且C點到弦AB所在的直線的距離為5，則以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形的面積是

 

．

Answer 1

分析：過O作OD⊥AB于D，由垂徑定理知AD=BD=5

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，則∠AOD=60°，OD=5；
①若延長OD交⊙O于E，則DE=5，此時E點符合C點的要求，且四邊形OACB為菱形，根據(jù)菱形的面積為對角線乘積的一半即可求得其面積；
②過O作AB的平行線，交⊙O于M、N，由于O到AB的矩形為5，所以M、N均符合C點的要求；此時四邊形OCAB為梯形，且上底為10，下底為10

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，高為5，根據(jù)梯形的面積公式即可求得其面積．

解答：解：如圖，連接OA、OB，過O作垂直于AB的半徑OE，交AB于D；
Rt△OAD中，AD=

1

2

AB=5

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，OA=10；
故∠AOD=60°，OD=5；
①易知DE=OE-OD=5；所以E點符合C點的要求；
此時四邊形OAEB的對角線AB、OE互相垂直平分，故四邊形OAEB是菱形；
∴S_菱形OAEB=

1

2

AB•OE=50

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；
②過O作平行于AB的直徑，交⊙O于M、N，則M、N到AB的距離均為OD=5；
所以M、N也符合C點的要求；
∴S_梯形OMAB=S_梯形ONBA=

1

2

（OM+AB）×OD=25+25

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；
故以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形的面積是50

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或25+25

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點評：此題主要考查了垂徑定理及解直角三角形的應(yīng)用；計算過程并不復(fù)雜，難點在于能夠?qū)⑺�有的情況都考慮到．