Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．
（1）求證：BC=CD；
（2）求證：∠ADE=∠ABD；
（3）設(shè)AD=2，AE=1，求⊙O直徑的長．

Answer 1

（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．
∵OB是⊙O的半徑，
∴CB為⊙O的切線．
又∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴BC=CD．

（2）證明：∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．

（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．
∴=．
∴=．
∴BE=3．
∴所求⊙O的直徑長為3．
分析：（1）由切線長定理，只需證明CB為⊙O的切線，再由已知的OB與AC切于點(diǎn)D，即可得出證明；
（2）根據(jù)已知及等角的余角相等不難求得結(jié)論．
（3）易得：△ADE∽△ABD，進(jìn)而可得=；代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得BE=3；即⊙O直徑的長為3．
點(diǎn)評：此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用．