Question

如圖在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點P是底邊AC上的一個動點，M、N分別是AB、BC的中點，若PM+PN的最小值為2，則△ABC的周長是________．

Answer 1

4+2
分析：首先要明確P點在何處，作點M關(guān)于AC的對稱點M′，根據(jù)勾股定理求出MN的長，由三角形中位線的性質(zhì)及三角函數(shù)分別求出AB、BC、AC的長，從而得到△ABC的周長．
解答：作M點關(guān)于AC的對稱點M′，連接M'N，與AC的交點即是P點的位置，
∵M，N分別是AB，BC的中點，
∴MN是△ABC的中位線，
∴MN∥AC，MN=AC，
∴==1，
∴PM′=PN，
∴MP=PN，
∵在△MBP和△NBP中，
，
∴△MBP≌△NBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP=60°，
∵AB=BC，
∴AP=PC，
即：當PM+PN最小時P在AC的中點，
∵PM+PN的最小值為2，
∴PM=PN=1，MN=，
∴AC=2，
AB=BC=2PM=2PN=2，
∴△ABC的周長為：2+2+2=4+2．
故答案為：．
點評：本題考查等腰三角形的性質(zhì)和軸對稱最短路線，及三角函數(shù)等知識的綜合應用．正確確定P點的位置是解題的關(guān)鍵．