【題目】傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1,3,6,10，……，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點(diǎn)陣標(biāo)表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個(gè)三角形數(shù)可以用表示.

請(qǐng)根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：

(1)任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)；

(2)連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）第n個(gè)三角形數(shù)乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n、n＋1個(gè)三角形數(shù)，進(jìn)一步相加整理得出答案即可．

(1)∵.

∴任意一個(gè)三角形數(shù)乘以8再加上1是一個(gè)完全平方數(shù).

∵第個(gè)三角形數(shù)為，第個(gè)三角形數(shù)為.

∴這兩個(gè)三角形數(shù)的和為

＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
∴任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)；
（2）∵第n個(gè)三角形數(shù)為，第n＋1個(gè)三角形數(shù)為，
∴這兩個(gè)三角形數(shù)的和為：＋＝＝（n＋1）2，
即連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直線y＝x＋4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段AB，OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，PC＋PD值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一種拉桿式旅行箱的示意圖如圖所示，箱體長(zhǎng)AB=50cm，拉桿最大伸長(zhǎng)距離BC=35cm，（點(diǎn)A、B、C在同一條直線上），在箱體的底端裝有一圓形滾輪⊙A，⊙A與水平地面切于點(diǎn)D，AE∥DN，某一時(shí)刻，點(diǎn)B距離水平面38cm，點(diǎn)C距離水平面59cm．

（1）求圓形滾輪的半徑AD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)人的手自然下垂拉旅行箱時(shí)，人感覺較為舒服，已知某人的手自然下垂在點(diǎn)C處且拉桿達(dá)到最大延伸距離時(shí)，點(diǎn)C距離水平地面73.5cm，求此時(shí)拉桿箱與水平面AE所成角∠CAE的大�。ň_到1°，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】利川市南門大橋是上世紀(jì)90年代修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分，2019年在維修時(shí)，施工隊(duì)測(cè)得主橋孔最高點(diǎn)到水平線的高度為.寬度為.如圖所示，現(xiàn)以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）直接寫出點(diǎn)及拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

（3）施工隊(duì)計(jì)劃在主橋孔內(nèi)搭建矩形“腳手架”，使點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在水平線上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】操作探究

如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE．將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)α＝0°時(shí)，＝　 　；②當(dāng)α＝180°時(shí)，＝　 　．

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，=5，=9，=，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿射線方向以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，一相同的速度在線段上由向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以為邊作正方形(按逆時(shí)針排序)，以為邊在上方作正方形.

(1)_______.

(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的面積為,請(qǐng)?zhí)骄?/span>是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)當(dāng)為何值時(shí)，正方形的某個(gè)頂點(diǎn)(點(diǎn)除外)落在正方形的邊上，請(qǐng)直接寫出的值.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點(diǎn)，再把△PQC沿著動(dòng)直線PQ對(duì)折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求∠CQP的度數(shù)；

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上；

（3）①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H.

（1）直接填寫：a= ，b= ，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ；

（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）若點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與頂點(diǎn)C不重合），PQ⊥AC于點(diǎn)Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象如圖所示，下面四個(gè)推斷：

①二次函數(shù)有最大值

②二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值大于0

④過動(dòng)點(diǎn)且垂直于x軸的直線與的圖象的交點(diǎn)分別為C,D，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)D上方時(shí)，m的取值范圍是或，其中正確的有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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