【題目】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1,3,6,10，……，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點陣標表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個三角形數(shù)可以用表示.

請根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：

(1)任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù)；

(2)連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）第n個三角形數(shù)乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n、n＋1個三角形數(shù)，進一步相加整理得出答案即可．

(1)∵.

∴任意一個三角形數(shù)乘以8再加上1是一個完全平方數(shù).

∵第個三角形數(shù)為，第個三角形數(shù)為.

∴這兩個三角形數(shù)的和為

＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
∴任意一個三角形數(shù)乘8再加1是一個完全平方數(shù)；
（2）∵第n個三角形數(shù)為，第n＋1個三角形數(shù)為，
∴這兩個三角形數(shù)的和為：＋＝＝（n＋1）2，
即連續(xù)兩個三角形數(shù)的和是一個完全平方數(shù)．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直線y＝x＋4與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C，D分別為線段AB，OB的中點，點P為OA上一動點，PC＋PD值最小時點P的坐標為.

A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一種拉桿式旅行箱的示意圖如圖所示，箱體長AB=50cm，拉桿最大伸長距離BC=35cm，（點A、B、C在同一條直線上），在箱體的底端裝有一圓形滾輪⊙A，⊙A與水平地面切于點D，AE∥DN，某一時刻，點B距離水平面38cm，點C距離水平面59cm．

（1）求圓形滾輪的半徑AD的長；

（2）當人的手自然下垂拉旅行箱時，人感覺較為舒服，已知某人的手自然下垂在點C處且拉桿達到最大延伸距離時，點C距離水平地面73.5cm，求此時拉桿箱與水平面AE所成角∠CAE的大�。ň_到1°，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】利川市南門大橋是上世紀90年代修建的一座石拱橋，其主橋孔的橫截面是一條拋物線的一部分，2019年在維修時，施工隊測得主橋孔最高點到水平線的高度為.寬度為.如圖所示，現(xiàn)以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.

（1）直接寫出點及拋物線頂點的坐標；

（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；

（3）施工隊計劃在主橋孔內(nèi)搭建矩形“腳手架”，使點在拋物線上，點在水平線上，為了籌備材料，需求出“腳手架”三根鋼管的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】操作探究

如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當α＝0°時，＝　 　；②當α＝180°時，＝　 　．

（2）拓展探究

試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點在同一條直線上時，求線段BD的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在中，=5，=9，=，動點從出發(fā)，沿射線方向以每秒5個單位長度的速度運動，動點從點出發(fā)，一相同的速度在線段上由向運動，當點運動到點時，兩點同時停止運動，以為邊作正方形(按逆時針排序)，以為邊在上方作正方形.

(1)_______.

(2)設點運動時間為，正方形的面積為,請?zhí)骄?/span>是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由.

(3)當為何值時，正方形的某個頂點(點除外)落在正方形的邊上，請直接寫出的值.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，點P是邊BC上的動點（點P不與點B，點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求∠CQP的度數(shù)；

（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上；

（3）①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H.

（1）直接填寫：a= ，b= ，頂點C的坐標為 ；

（2）在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象如圖所示，下面四個推斷：

①二次函數(shù)有最大值

②二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

③當時，二次函數(shù)的值大于0

④過動點且垂直于x軸的直線與的圖象的交點分別為C,D，當點C位于點D上方時，m的取值范圍是或，其中正確的有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

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