Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+3與x軸交于A（-1，0）、B （3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)P，與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)M，連接PB．
（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)以及該拋物線(xiàn)的關(guān)系式；
（2）連接AC，在x軸下方的拋物線(xiàn)上有點(diǎn)D，使S_△ABD=S_△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）在第一象限、對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）把A（-1，0）、B （3，0）代入y=ax²+bx+3得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)式為y=-x²+2x+3，
設(shè)x=0，則y=3，所以C的坐標(biāo)是（0，3）；
（2）由（1）可知設(shè)D的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=×4×3=6，
∵S_△ABD=S_△ABC，
∴•AB•|-x²+2x+3|=6，
∵D在x軸下方的拋物線(xiàn)上，
∴D的坐標(biāo)是（1±，3）；

（3）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
則頂點(diǎn)P（1，4），共分兩種情況，如圖1：

①由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，直線(xiàn)BC解析式為y=-x+3，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)為：y=-x+b，
將點(diǎn)P（1，4）代入，得y=-x+5．
則直線(xiàn)BC代入拋物線(xiàn)解析式是否有解，有則存在點(diǎn)Q，
即可得：-x²+2x+3=-x+5，
解：x=1或x=2，
代入直線(xiàn)則得點(diǎn)（1，4）或（2，3）．
已知點(diǎn)P（1，4），
所以點(diǎn)Q（2，3）．
②由對(duì)稱(chēng)軸及直線(xiàn)BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設(shè)過(guò)P′（1，0）且與BC平行的直線(xiàn)為y=-x+c，
將P′代入，得y=-x+1．
聯(lián)立，
解得：或，
故可得存在Q它的坐標(biāo)為（2，3）或或，
（4）由（2）可得：M（1，2），如圖2：
由點(diǎn)M，P的坐標(biāo)可知點(diǎn)R存在，即過(guò)點(diǎn)M平行于x軸的直線(xiàn)，

則可得-x²+2x+3=2，
解得x₁=1-（在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，舍去），x₂=1+，
即點(diǎn)R（1+，2）．
分析：（1）把A（-1，0）、B （3，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+3即可求出a和b的值，進(jìn)而求出拋物線(xiàn)的解析式，設(shè)x=0可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）可知設(shè)D的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），由已知條件易求S_△ABC，并且△ABD的高為D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，所以可建立方程求出x的值即可；
（3）因?yàn)閮扇�角形的底邊MB相同，所以只需滿(mǎn)足MB上的高相等即可滿(mǎn)足題意；
（4）根據(jù)前面所求可得出點(diǎn)M是PP'的中點(diǎn)，從而過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一元二次方程的解及三角形的面積，綜合性較強(qiáng)，解答本題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)M是PP'的中點(diǎn)求解，難度較大．