Question

正方形ABCD在如圖所示的平面直角坐標系中，A在x軸正半軸上，D在y軸的負半軸上，AB交y軸正半軸于E，BC交x軸負半軸于F，OE=1，OD=4，拋物線y=ax²+bx-4過A、D、F三點。
（1）求拋物線的解析式；
（2）Q是拋物線上D、F間的一點，過Q點作平行于x軸的直線交邊AD于M，交BC所在直線于N，若S_{四邊形AFQM}=S_△FQN，則判斷四邊形AFQM的形狀；
（3）在射線DB上是否存在動點P，在射線CB上是否存在動點H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存在，請給予嚴格證明，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）依條件有， 由知， ∴由得， ∴， 將A、F的坐標代入拋物線方程， 得， ∴拋物線的解析式為； （2）設， ∴ 設，則 ∴， ∴（舍去） 此時點M與點D重合， 則為等腰梯形； （3）在射線上DB存在一點P，在射線CB上存在一點H， 使得，且成立，證明如下： 當點P如圖①所示位置時，不妨設，過點P作， 垂足分別為， 若，由得：， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 當點P在如圖②所示位置時，過點P作， 垂足分別為M、N， 同理可證， 又， ， ∴ 當在P如圖③所示位置時，過點P作，垂足為N，延長線，垂足為M， 同理可證， ∴。