Question

如圖，某廣場設(shè)計(jì)的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)O落在水平面上，對(duì)稱軸是水平線OC．點(diǎn)A、B在拋物線造型上，且點(diǎn)A到水平面的距離AC=4米，點(diǎn)B到水平面距離為2米，OC=8米．
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）為了安全美觀，現(xiàn)需在水平線OC上找一點(diǎn)P，用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱PA、PB對(duì)拋物線造型進(jìn)行支撐加固，那么怎樣才能找到兩根支柱用料最�。ㄖе�與地面、造型對(duì)接方式的用料多少問題暫不考慮）時(shí)的點(diǎn)P？（無需證明）
（3）為了施工方便，現(xiàn)需計(jì)算出點(diǎn)O、P之間的距離，那么兩根支柱用料最省時(shí)點(diǎn)O、P之間的距離是多少？（請(qǐng)寫出求解過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²，又由點(diǎn)A在拋物線上，即可求得此拋物線的函數(shù)解析式；
（2）延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點(diǎn)D，連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求；
（3）首先根據(jù)題意求得點(diǎn)B與D的坐標(biāo)，設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線BD的函數(shù)解析式，把x=0代入y=-x+4，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）以點(diǎn)O為原點(diǎn)、射線OC為y軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²，
由題意知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8）．
∵點(diǎn)A在拋物線上，
∴8=a×4²，
解得a=，
∴所求拋物線的函數(shù)解析式為：y=x²；

（2）找法：
延長AC，交建筑物造型所在拋物線于點(diǎn)D，
則點(diǎn)A、D關(guān)于OC對(duì)稱．
連接BD交OC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．

（3）由題意知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∵點(diǎn)B在拋物線上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，8），
設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∴，
解得：k=-1，b=4．
∴直線BD的函數(shù)解析式為y=-x+4，
把x=0代入y=-x+4，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），
兩根支柱用料最省時(shí)，點(diǎn)O、P之間的距離是4米．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題．解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)建二次函數(shù)模型，然后根據(jù)二次函數(shù)解題．