Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC是以AC為斜邊的Rt△時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為N，當(dāng)△ACN的面積為時(shí)，求直線AN的解析式．

Answer 1

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：
，
解得：，
故拋物線的解析式是y=-x²+2x+3，對(duì)稱軸為：直線x-=1；

（2）設(shè)點(diǎn)P（1，y）是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作CF⊥l于F，l交x軸于E，
則AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，
AP²=AE²+PE²=4+y²，∴由CP²+AP²=AC²，
得：y²-6y+10+4+y²=10，解得y=1或y=2，
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（1，1）、P₂（1，2）；

（3）設(shè)點(diǎn)M（1，m），與（2）同理可得：AC²=10，CM²=m²-6m+10，AM²=4+m²
①當(dāng)AC=CM時(shí)，10=m²-6m+10，解得：m=0或m=6（舍去），
②當(dāng)AC=AM時(shí)，10=4+m²，解得：m=或m=，
③當(dāng)CM=AM時(shí)，m²-6m+10=4+m²，解得：m=1，
檢驗(yàn)：當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)有4個(gè)，
M坐標(biāo)為（1，0）、（1，）、（1，-）、（1，1）；

（4）設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，且交y軸于點(diǎn)K，
∵過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴y=kx+k，
∴K（0，k），
∵N是直線AN與拋物線的交點(diǎn)，
∴kx+k=-x²+2x+3，解得x=3-k或x=-1（舍去），
∵N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3-k （k＜3），
由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=CK•OA+CK•NJ=（3-k）×1+（3-k）²
=（k²-7k+12），
令=（k²-7k+12），
解得k=（舍去），或k=，
故直線AN的解析式為．
分析：（1）直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可得到函數(shù)的解析式，再用公式法可求出拋物線的對(duì)稱軸；
（2）設(shè)點(diǎn)P（1，y）是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作CF⊥l于F，l交x軸于E，則AC²=AO²+CO²=10，CP²=CF²+PF²=1+（3-y）²=y²-6y+10，若△PAC是以AC為斜邊的Rt△時(shí)，則y²-6y+10+4+y²=10，進(jìn)而求出P的坐標(biāo)；
（3）由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A=AC、②MA=MC、②AC=MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解；
（4）設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b，且交y軸于點(diǎn)K，由S_△ACN=S_△ACK+S_△CKN=CK•OA+CK•NJ=（3-k）×1+（3-k）²=（k²-7k+12），當(dāng)△ACN的面積為時(shí)，代入求出k的值即可．
點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了拋物線的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識(shí)，在判定等腰三角形時(shí)，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進(jìn)行討論，以免漏解．