Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，P為AB延長線上的點，且∠ADC=45°，PD=PE．
（1）求證：PD為⊙O切線；
（2）若AE=12，CE=，求△PDE的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OC、OD，
∵∠ADC=45°，
∴弧AC的度數(shù)是90°，
∵AB為直徑，
∴弧BC的度數(shù)也是90°，
∴弧AC=弧BC，
∵OC為半徑，
∴OC⊥AB，
∴∠COE=90°，
∴∠C+∠OEC=90°，
∵OC=OD，PD=PE，
∴∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，
∴∠PDE+∠ODC=90°，
∴OD⊥PD，
∵OD為半徑，
∴PD為⊙O切線；

（2）解：設⊙O的半徑是R，
∵AE=12，CE=，
∴OC=R，OE=12-R，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：R²+（12-R）²=（3）²，
解得：R=3，R=9，
∴當R=3時，OE=12-3-9＞3，舍去，
即R=9，
OE=3，
設PD=PE=x，
∵在Rt△ODP中，∠ODP=90°，
∴由勾股定理得：9²+x²=（3+x）²，
解得：x=12，
即PD=PE=12，
過D作DF⊥PO于F，
在Rt△ODP中，由三角形的面積公式得：OD×PD=PO×DF，
∴9×12=（12+3）×DF
解得：DF=，
∴△PDE的面積是：×PE×DF=×12×=．
分析：（1）連接OC、OD，推出OC⊥AB，推出∠C+∠OEC=90°，根據(jù)等腰三角形性質得出∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，代入求出∠PDE+∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）在Rt△OCE中根據(jù)勾股定理求出半徑，在Rt△ODP中根據(jù)勾股定理求出PD和PE，根據(jù)三角形面積公式求出高DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質，切線的判定，勾股定理，三角形的面積，垂徑定理等知識點的綜合運用．