Question

如圖，拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于A、B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，求k的值．
（3）設(shè)（2）中直線y=kx-1（k≠0）分別交x軸、y軸于E、F，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△AEF與△PEF面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b經(jīng)過A（-1，0），C（3，2），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2；

（2）令x=0，則y=2，；
令y=0，則-x²+x+2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得，x₁=-1，x₂=4，
所以，點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)B（4，0），
∵A（-1，0），C（3，2），
∴AB∥CD，且AD=BC，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），
∵直線y=kx-1（k≠0），將四邊形ABCD面積二等分，
∴直線必過點(diǎn)（，1），
∴k-1=1，
解得k=；

（3）存在．理由如下：
由（2）得，直線解析式為y=x-1，
令y=0，則x-1=0，解得x=，
所以，點(diǎn)E（，0），
∵△AEF與△PEF面積相等，
∴點(diǎn)P在過點(diǎn)A且與直線EF平行的直線上，或在過點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)且與直線EF平行的直線上，
①點(diǎn)P在過點(diǎn)A且與直線EF平行的直線上時(shí)，設(shè)直線的解析式為y=x+b₁，
則×（-1）+b₁=0，
解得b₁=，
所以，直線的解析式為y=x+，
聯(lián)立，
解得（舍去），，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），
②∵×2-（-1）=，
∴點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)A′為（，0），
設(shè)直線的解析式為y=x+b₂，
則×+b₂=0，
解得b₂=-，
所以，直線解析式為y=x-，
聯(lián)立，
解得，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P（，）或（，）或（，），使得△AEF與△PEF面積相等．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)求出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)，可知四邊形ABCD是等腰梯形，再根據(jù)二等分梯形面積的直線必過連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，然后求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線即可求出k值；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得點(diǎn)P在到EF的距離等于點(diǎn)A到EF距離相等的直線上，然后求出點(diǎn)P所在的直線，與拋物線聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，等底等高的三角形的面積相等的性質(zhì)，（2）明確二等分梯形的直線必過連接兩底邊中點(diǎn)的線段的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，也是求解本題的突破口．