Question

【題目】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)G；E、F分別是C′D和BD上的點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)H，把△FDE沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D′處，點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），（3） ．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出結(jié)論；

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，設(shè)AG=x，則GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出tan∠ABG的值；

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根據(jù)tan∠ABG即可得出EH的長(zhǎng)，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長(zhǎng)，由EF=EH+HF即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在△ABG與△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG（AAS）；

（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，

設(shè)AG=x，則GB=8-x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，

即62+x2=（8-x）2，

解得x=，

∴tan∠ABG=；

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE=，

∴EH=HD×=4×=，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位線，

∴HF=AB=×6=3，

∴EF=EH+HF=+3=．