Question

已知關(guān)于x的方程，

（1）求證：無論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（4分）

（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝3，另兩邊長(zhǎng)b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng).（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）7或8．

【解析】

試題分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉(zhuǎn)化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b，c的長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)，綜合后求出△ABC的周長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵，

∴無論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．

（2）分兩種情況：

①若b=c，

∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴，解得k=2.

∴此時(shí)方程為=0，解得x₁=x₂=2.

∴△ABC的周長(zhǎng)為7.

②若b≠c，則b=a=3或c=a=3，即方程有一根為3，

∵把x=1代入方程，得，解得k=3.

∴此時(shí)方程為，解得x₁=2，x₂=3 ∴方程另一根為2.

∴△ABC的周長(zhǎng)為8．

綜上所述，所求△ABC的周長(zhǎng)為7或8．

考點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式；2.三角形三邊關(guān)系；3.等腰三角形的性質(zhì)；4.分類思想的應(yīng)用．