Question

下面我們來(lái)定義一個(gè)數(shù)學(xué)概念．平面區(qū)域的平分線：一條曲線圍成的平面區(qū)域．連接邊界兩點(diǎn)的一條曲線，如果把平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則稱其為區(qū)域的平分線．（注意：直線段、折線都視為曲線．）
我們可以求得邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC三條平分線：等邊三角形的高、平行于邊的線段和圓心在頂點(diǎn)的

1

6

圓周，它們的長(zhǎng)度分別為

3

2

、

2

2

和

π 4 3

．如圖．

請(qǐng)解答下面的問(wèn)題：給定一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，如圖．
（1）指出與例子類似的三條平分線；
（2）求出你指出的三條平分線的長(zhǎng)度；
（3）比較這三條平分線長(zhǎng)度的大�。�

Answer 1

分析：（1）正方形的對(duì)角線，過(guò)中心且平行于邊的線段，以正方形一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周這三條弧線，
（2）正方形的對(duì)角線，過(guò)中心且平行于邊的線段的長(zhǎng)度易求，以正方形一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周這三條弧線根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出，
（3）直接作比較即可．

解答：解：（1）正方形的對(duì)角線，過(guò)中心且平行于邊的線段，以正方形一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓周．（3分）
（2）前兩條平分線的長(zhǎng)分別是

2

和1．（5分）
下面求第三條平分線的長(zhǎng)度：
設(shè)圓的半徑為x，則

1

4

πx2=

1

2

，得x=

2 π

，所以四分之一圓周長(zhǎng)為

π 2

．（8分）
（3）因?yàn)?＞π，所以

2

＞

π 2

＞1
所以，正方形的對(duì)角線長(zhǎng)＞以正方形一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的四分之一圓弧長(zhǎng)＞過(guò)中心且平行于邊的線段長(zhǎng)．（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算和正方形的性質(zhì)，此題很新穎，但不是很難．