Question

若a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒數(shù)，并且m的立方等于它本身．
（1）試求

2a+2b

m+2

+ac值；
（2）若a＞1，且m＜0，S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+

1

2

|，試求4（2a一S）+2（2a-S）-（2a-S）的值．
（3）若m≠0，試討論：x為有理數(shù)時(shí)，|x+m|-|x-m|是否存在最大值，若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)a、b互為相反數(shù)，b、c互為倒數(shù)，得出a+b=0，bc=1，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)a＞1及m的立方等于它本身把S進(jìn)行化簡，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算；
（3）根據(jù)若m≠0，可知m=±1，①當(dāng)m=1時(shí)，代入|x+m|-|x-m|，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，求出代數(shù)式的值，
②同理，當(dāng)m=-1時(shí)代入所求代數(shù)式，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，求出代數(shù)式的值，即可．

解答：解：（1）∵a+b=0，bc=1，
∴ac=-1（3分）
∴

2a+2b

m+2

+ac=0-1=-1（4分）
（2）∵a＞1，
∴b＜-1，2a-3b＞0，b+

1

2

＜0（5分）
∵m的立方等于它本身，且m＜0
∴m=-1，b-m=b+1＜0（6分）
∴s=2a-3b+2b+2+b+

1

2

=2a+

5

2

∴2a-s=-

5

2

（7分）
4（2a-S）+2（2a-S）-（2a-S）
=5（2a-S）
=-

25

2

；（8分）

（3）若m≠0，此時(shí)m=±1（19分）
①若m=1，則|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
當(dāng)x≤-1時(shí)
|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
當(dāng)-1＜x≤1時(shí)
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
當(dāng)x＞1時(shí)
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，存在最大值為2；（10分）
②若m=-1
同理可得：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，存在最大值為2．（11分）
綜上所述，當(dāng)m=±1，x為有理數(shù)時(shí)，|x+m|-|x-m|存在最大值為2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是絕對(duì)值的性質(zhì)，相反數(shù)及倒數(shù)的定義，代數(shù)式求值，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．