Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E、F分別在邊AC、AB、BC上，四邊形CDEF是正方形，BD與EF交于點(diǎn)G，如果AC=9，BC=18．求：
（1）求正方形的邊長；
（2）EG的長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形的邊長為x，由正方形的性質(zhì)可知DE∥BC，所以△ADE∽ACB，由相似的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出x的值，進(jìn)而求出正方形的邊長；
（2）設(shè)EG=y，利用正方形的性質(zhì)可證明△DEG∽△BFG，再得到關(guān)于y的比例式進(jìn)而求出y的值，所以EG的長求出．

解答：解：（1）∵四邊形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

設(shè)正方形的邊長為x，則DE=DC=x，
∵AC=9，BC=18，
∴AD=AC-DC=9-x，
∴

9-x

9

=

x

18

，
解得：x=6，
∴正方形的邊長是6；

（2）∵四邊形CDEF是正方形，
∴DE∥BF，
∴△DEG∽△BFG，
∴

DE

BF

=

EG

GF

，
設(shè)EG=y，則GF=EF-y=6-y，
∴

6

12

=

y

6-y

，
解得：y=2，
∴EG的長是2．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出未知數(shù)利用列方程的方法求出線段的長．