Question

【題目】在圖1﹣﹣圖4中，菱形ABCD的邊長為3，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM= AD，點N是折線AB﹣BC上的一個動點．

（1）如圖1，當N在BC邊上，且MN過對角線AC與BD的交點時，則線段AN的長度為 ．
（2）當點N在AB邊上時，將△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如圖2，
①若點A′落在AB邊上，則線段AN的長度為；
②當點A′落在對角線AC上時，如圖3，求證：四邊形AM A′N是菱形；
③當點A′落在對角線BD上時，如圖4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）1,解：②在菱形ABCD中,AC平分∠DAB,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=∠CAB=30°,∵△AMN沿MN翻折得到△A′MN,∴AC⊥MN,AM=A′M,AN=A′N,；∴∠AMN=∠ANM=60°,∴AM=AN,∴AM=A′M=AN=A′N,∴四邊形AM A′N是菱形；,③在菱形ABCD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=60°,∴∠BA′M=∠DMA′+∠ADB,∴A′M=AM=2,∠NA′M=∠A=60°,∴∠NA′B=∠DMA′,∴△DMA′∽△BA′N,∴ = ,∵MD= AD=1,A′M=2,∴ =
【解析】解：（1）如圖1，

過點N作NG⊥AB于G，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，OD=OB，

∴ = =1，

∴BN=DM= AD=1，

∵∠DAB=60°，

∴∠NBG=60°

∴BG= ，GN= ，

∴AN= = = ；

故答案為： ；

（ 2 ）①當點A′落在AB邊上，則MN為AA′的中垂線，

∵∠DAB=60°AM=2，

∴AN= AM=1，

故答案為：1；

（1）過點N作NG⊥AB于G，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，OD=OB，∠NBG=60° ,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出DM∶BN＝OD∶OB＝1，從而得出BN=DM=1 ，利用含30°的直角三角形的邊的關(guān)系得出BG、GN的長，利用勾股定理解決問題；
（2）①利用線段中垂線的性質(zhì)得到MN⊥AA',利用含30°的直角三角形的邊的關(guān)系得出AN的長；
②利用菱形的性質(zhì)得到對角線平分每一組對角，得到∠DAC=∠CAB=30°，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到AC⊥MN，AM=A′M，AN=A′N，∠AMN=∠ANM=60°，AM=AN，AM=A′M=AN=A′N，四邊形AM A′N是菱形
③根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD，∠ADB=∠ABD=60°，求得∠NA′M=∠DMA′+∠ADB，證得A′M=AM=2，∠NA′M=∠A=60°，得到∠NA′B=∠DMA′，從而判斷出△DMA′∽△BA′N，利用相似三角形對應邊成比例得到結(jié)果．