Question

如圖，在矩形ABCD中，點E在AD邊上，AE＞DE，BE=BC，點O是線段CE的中點．
（1）試說明CE平分∠BED；
（2）若AB=3，BC=5，求BO的長；
（3）延長BO交直線AD于點F，連接CF，畫出圖形，試說明四邊形BCFE是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)AD∥BC，所以∠BCE=∠DEC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；
（2）利用勾股定理先求出AE、EC的長，在△BCO中根據(jù)勾股定理即可求出BO；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，首先證明BCEF是平行四邊形，再由對角線互相垂直即可證明四邊形BCEF是菱形．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
又∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC．
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED；

（2）在Rt△BAE中，AB=3，BE=BC=5，
有勾股定理得：AE=4，
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
有勾股定理得：EC=

10

，
在Rt△BOC中，BC=5，CO=

10

2

，
由勾股定理得：BO=

BC2-CO2

=

3 10

2

，

（3）如圖所示：
∵FE∥CB，
∴∠EFO=∠COB，
∵BE=BC，BO⊥CE，
∴EO=CO，
在△FEO和△BCO中，

∠EFO=∠OBC ∠EOF=∠COB EO=CO

，
∴△FEO≌△BCO（AAS），
∴EF=BC，
∴四邊形EFCB是平行四邊形，
∵EC⊥BF，
∴四邊形EFCB是菱形．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及菱形和平行四邊形的判定，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．