Question

已知如圖，拋物線與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相交于A點(diǎn)，過A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A．

（1）請求出點(diǎn)A坐標(biāo)和⊙P的半徑；

（2）請確定拋物線的解析式；

（3）M為y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，直線MB交⊙P于點(diǎn)D．若△AOB與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

（1）∵OA是⊙P的切線，OC是⊙P的割線．

∴OA²=OB×OC     即OA²＝1×4

∴OA＝2    即點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)是(0，2)

連接PA，過P作PE交OC于E顯然，四邊形PAOE為矩形，

故PA＝OE

∵PE⊥BC   ∴BE=CE   又BC=3，故BE＝

∴PA＝OE=OB＋BE＝1＋＝即⊙P的半徑長為．

（2）拋物線的解析式是： 

（3）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩

種情況  

①∠ABD和∠AOB對應(yīng)，此時AD

是⊙P的直徑則AB=，AD=5

∴BD=2

∵Rt△AMB∽Rt△DAB

∴MA：AD=AB：BD  

即MA= 

∵Rt△AMB∽Rt△DMA ∴MA：MD=MB：MA

即MB·MD=MA²=②∠BAD和∠AOB對應(yīng)，此時BD是

⊙P的直徑，所以直線MB過P點(diǎn)

∵B（1，0），P（

∴直線MB的解析式是：

 

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

∴ AM=  由△MAB∽△MDA  得MA：MD=MB：MA

∴MB·MD=MA²=