Question

已知a₁，a₂，…，a_n是正整數(shù)，且a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，a₁²+a₂²+…+a_n²=24，則（a₁，a₂，…，a_n）=

（1，1，2，3，3）或（1，1，1，1，2，4）（對一個給3分）

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Answer 1

分析：由于a₁，a₂，…，a_n是正整數(shù)，5²＞24，能確定1≤a_n≤4，再分別分情況討論，①當a_n=1時；②當a_n=2時；③當a_n=3時；④當a_n=4時，注意a₁≤a₂≤…≤a_n，在每一種情況里又需要分情況討論．

解答：解：∵5²＞24，
∴a_n≤4，
又∵a_n是正整數(shù)，
∴1≤a_n≤4，
①當a_n=1時，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a₁=a₂=…=a_n=1（n=10），
∴a₁²+a₂²+…+a₁₀²=10，
又∵a₁²+a₂²+…+a_n²=24，
∴此解不成立；
②當a_n=2時，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2，
當a _n-1=1時，a _n-2必等于1，以此類推，
∴a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=a₇=a₈=1（n=9），
∴a₁²+a₂²+…+a₉²=12，
又∵a₁²+a₂²+…+a_n²=24，
∴a_n-1=1不成立；
當a _n-1=2時，a _n-2可等于1，也可等于2，
那么就有a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=a₆=1（n=8），
∴a₁²+a₂²+…+a₈²=14≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=a₄=1，a₅=a₆=a₇=2（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=16≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=1，a₃=a₄=a₅=a₆=2（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=18≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=a₄=a₅=2（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=20≠24，
∴此解不成立；
∴當a_n=2時，沒有符合題意的解；
③當a_n=3時，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2或a _n-1=3，
當a _n-1=1時，a _n-2必等于1，
那么a₁=a₂=…=a₇=1，a₈=3（n=8），
∵a₁²+a₂²+…+a₈²=16≠24，
∴此解不成立；
當a _n-1=2時，a _n-2可以等于2，也可以等于1，
當a₁=a₂=…=a₅=1，a₆=2，a₇=3（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=18≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=1，a₄=a₅=2，a₆=3（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=20≠24，
∴此解不成立；
或a₁=1，a₂=a₃=a₄=2，a₅=3（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=22≠24，
當a _n-1=3時，a _n-2可以等于3，也可以等于2，還可以等于1，
當a _n-2=3時，則a₁=1，a₂=a₃=a₄=3（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=28≠24，
∴此解不成立；
或a _n-2=2時，則a₁=a₂=1，a₃=2，a₄=a₅=3（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=24，
∴此解成立；
或a₁=a₂=2，a₃=a₄=3（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=26≠24，
∴此解不成立；
④當a_n=4時，∵a₁≤a₂≤…≤a_n，a₁+a₂+…+a_n=10，
∴a _n-1=1或a _n-1=2或a _n-1=3或a _n-1=4，
當a _n-1=1，必有a₁=a₂=…=a₆=1，a₇=4（n=7），
∵a₁²+a₂²+…+a₇²=22≠24，
∴此解不成立；
當a _n-1=2，有a₁=a₂=a₃=a₄=1，a₅=2，a₆=4（n=6），
∵a₁²+a₂²+…+a₆²=24，
∴此解成立；
或a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，a₅=4（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=26≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=a₃=2，a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=28≠24，
∴此解不成立；
當a _n-1=3時，有a₁=a₂=a₃=1，a₄=3，a₅=4（n=5），
∵a₁²+a₂²+…+a₅²=28≠24，
∴此解不成立；
或a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=30≠24，
∴此解不成立；
或a₁=a₂=3，a₃=4（n=3），
∵a₁²+a₂²+…+a₃²=34≠24，
∴此解不成立；
當a _n-1=4，只有a₁=a₂=1，a₃=a₄=4（n=4），
∵a₁²+a₂²+…+a₄²=34≠24，
∴此解不成立；
∴綜上所述，符合條件的解有兩組：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．
故答案是：（1，1，2，3，3）；（1，1，1，1，2，4）．

點評：本題考查了等式的證明．可以先讓選擇的數(shù)符合其中一個條件，再看是否符合第二個條件．