Question

根據(jù)所給的圖形解答下列問(wèn)題：
（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，并拼接成一個(gè)與△ABC面積相等的正方形，請(qǐng)你在圖中完成這個(gè)作圖；
（2）如圖2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種與（1）不同的方法，將這個(gè)三角形拆分并拼接成一個(gè)與其面積相等的正方形，畫(huà)出利用這個(gè)三角形得到的正方形；
（3）設(shè)計(jì)一種方法把圖3中的矩形ABCD拆分并拼接為一個(gè)與其面積相等的正方形，請(qǐng)你依據(jù)此矩形畫(huà)出正形，并根據(jù)你所畫(huà)的圖形，證明正方形面積等于矩形ABCD的面積的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）、（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及圖形拼接前后面積不變畫(huà)出圖形即可；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，先證出四邊形EFGC是矩形，△AHB∽△GBC，由矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得出四邊形EFGC是正方形，再由BH∥CE，HE∥BC，BH=CE可得EFGC是正方形，Rt△BAH≌Rt△CDE，S_△BAH=S_△CDE，根據(jù)EF∥CGEH∥CB可得出S_△EFH=S_△CGB，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1；

（2）如圖2，M、N分別是HE、GF的中點(diǎn)；

（3）如圖3，設(shè)AB=a，BC=b
①以點(diǎn)B為圓心，以BH=

ab

為半徑畫(huà)弧，交AD于H；
②過(guò)C點(diǎn)作CE∥BH交AD的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BH于點(diǎn)G；
③過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CE于E，交BH的延長(zhǎng)線于F，則正方形EFGC為所求．
證明：
易證四邊形EFGC是矩形，
可證△AHB∽△GBC，
∴

AB

CG

=

BH

BC

，
∴

a

CG

=

ab

b

，CG=

ab

∴四邊形EFGC是正方形．
∵BH∥CE，HE∥BC，
∴四邊形BCEH是平行四邊形．
∴BH=CE．
∴EFGC是正方形．
易證Rt△BAH≌Rt△CDE．
∴S_△BAH=S_△CDE．
∵EF∥CGEH∥CB，
∴∠FEH=∠GCB．
又∵∠EFH=∠CGB=90°，EF=CG，
∴△EFH≌△CGB．
∴S_△EFH=S_△CGB．
∴S_{正方形EFGC}=S_矩形ABCD．
∴四邊形EFCG為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．